Veranstaltung: Mathematik 1

Nummer:
150110
Lehrform:
Vorlesung und Übungen
Medienform:
Tafelanschrieb
Verantwortlicher:
Dr. rer. nat. Mario Lipinski
Dozent:
Dr. rer. nat. Mario Lipinski (Mathematik)
Sprache:
Deutsch
SWS:
8
LP:
10
Angeboten im:
Wintersemester

Termine im Wintersemester

  • Beginn: Donnerstag den 11.10.2018
  • Vorlesung Dienstags: ab 10:15 bis 12.00 Uhr im HZO 30
  • Vorlesung Mittwochs: ab 10:15 bis 12.00 Uhr im HZO 10
  • Vorlesung Freitags: ab 10:15 bis 12.00 Uhr im HZO 30
  • Übung (alternativ) Donnerstags: ab 10:15 bis 12.00 Uhr im NB 02/99
  • Übung (alternativ) Donnerstags: ab 10:15 bis 12.00 Uhr im NC 3/99
  • Übung (alternativ) Donnerstags: ab 14:15 bis 16.00 Uhr im NB 3/99
  • Übung (alternativ) Donnerstags: ab 14:15 bis 16.00 Uhr im NB 6/99
  • Übung (alternativ) Donnerstags: ab 14:15 bis 16.00 Uhr im NC 3/99
  • Übung (alternativ) Donnerstags: ab 16:15 bis 18.00 Uhr im NB 2/99
  • Übung (alternativ) Donnerstags: ab 16:15 bis 18.00 Uhr im NA 01/99
  • Übung (alternativ) Donnerstags: ab 16:15 bis 18.00 Uhr im NA 3/64
  • Übung (alternativ) Freitags: ab 08:15 bis 10.00 Uhr im NA 01/99
  • Übung (alternativ) Freitags: ab 08:15 bis 10.00 Uhr im NC 3/99
  • Übung (alternativ) Freitags: ab 08:15 bis 10.00 Uhr im NC 6/99
  • Zusatzübung Donnerstags: ab 08:30 bis 10.00 Uhr im HID

Prüfung

Prüfungsform:schriftlich
Prüfungsanmeldung:FlexNow
Datum:11.02.2019
Beginn:14:30
Dauer:120min
Räume: HGA 10,  HGB 10,  HIA ,  HIB ,  HIC ,  HID ,  HZO 60,  HGD 20
Die Hörsaalaufteilung wird vom Lehrstuhl bekannt gegeben.

Ziele

Die Studierenden beherrschen folgende mathematische Methoden zur Lösung ingenieurwissenschaftlicher Probleme und können diese anwenden:

  • Eigenschaften reeller und komplexer Zahlen
  • Elementare Eigenschaften der linearen Algebra
  • Differential- und Integralrechnung für Funktionen von einer Veränderlichen
  • Einfache gewöhnliche Differentialgleichungen
  • Orthonormalsysteme, insbesondere Fourierreihen

Inhalt

  1. Reelle und komplexe Zahlen
    • Konstruktion der Zahlbereiche N, Z. Q, R; Rechengesetze; Ordnungsrelation; Betrag (Dreiecksungleichung), max, min, sup, inf
    • einfache mathematische Symbole zur Beschreibung von Mengen und Aussagen ({,},=,:=,=>,<=>,:<=>, Quantoren)
    • Summen- und Produktzeichen, Binomialkoeffizienten, Binomischer Satz, kleiner Gauß, Cauchy-Schwarz (vollständige Induktion)
    • Darstellung natürlicher/reeller Zahlen bzgl. verschiedener Basen insb. Binärzahlen (Existenz, Konstruktion, schriftlich rechnen)
    • komplexe Zahlen
      • Gaußsche Zahlenebene, Grundrechenarten, Betrag und komplexe Konjugation, Polarkoordinaten, Potenzen und komplexe Wurzeln
  2. Elementare Funktionen I
    • Polynome und gebruchen rationale Funktionen
      • Nullstellen, Polynomdivision, Partialbruchzerlegung
    • trigonometrische Funktionen (Definition am Kreis, Additionstheoreme)
    • Wachstumsklassen
    • Funktionen kombinieren/verknüpfen, Graphen verschieben, skalieren
  3. Folgen, Stetigkeit, Reihen
    • Konvergenz/Grenzwert von Folgen, Rechenregeln, Beispiele
    • Definition Stetigkeit, Rechenregeln, (Gegen)Beispiele
      • Anwendungen: Existenz von Extermwerten, Zwischenwerten, Nullstellenbestimmung
    • Konvergenz/Summe/Grenzwert einer Reihe, Kriterien
  4. Differentialrechnung
    • Definition Ableitung, Rechenregeln, Beispiele (Polynome, rationale und trigonometrische Funktionen)
    • höhere Ableitungen, Mittelwertsatz, l´Hospitalsche Regel, Taylorpolynome, Potenzreihen (Konvergenzradius, Beispiele)
    • Monotonie, Extremwertbestimmung, Existenz und Ableitung der Umkehrfunktion (Wurzelfunktionen, arc-Funktionen)
  5. Integralrechnung
    • Definition Riemannsches Integral, Integrierbarkeit
    • Hauptsatz, Stammfunktion, Integrationsregeln, Mittelwertsatz
    • Definition und Eigenschaften des natürlichen Logarithmus, der eulerschen Zahl, allgemeiner Potenzen, Potenzgesetze
    • Integration von Funktionenfolgen und Reihen
    • uneigentliche Integrale -> Konvergenzkriterien für Reihen, Definition Laplace-/Fouriertransformation, Gamma-/Besselfunktion
  6. Lineare Algebra
    • (reeller) Vektorraum
      • Definition, Skalarprodukt, Norm, lineare Unabhängigkeit, Dimension
    • Geraden, Ebenen, Abstände, Kreuzprodukt
    • Matrizen und lineare Abblidungen, Determinanten und Invertierbarkeit, Koordinatentransformationen, Spur
    • lineare Gleichungssysteme (Gaußscher Algorithmus), Inversenberechnung
    • Normalform von Matrizen, Eigenvektoren/-werte/-räume, Diagonalisierung
    • Ellipsen, Hyperbeln, Parabeln
  7. Gewöhnliche Differentialgleichungen I
    • Elementare Lösungsmethoden für DGL erster Ordnung
    • Lineare DGL mit konstanten Koeffizienten (zweiter Ordnung)
  8. Orthonormalsysteme
    • allgemeine Skalarprodukte, Approximation im quadratischen Mittel, Besselsche Ungleichung, Parsevalsche Gleichung
    • trigonometrisches Orthonormalsystem, reele Fourierreihe (allg. Frequenz), Konvergenzeigenschaften, Rechenregeln, Ableitung, Integration, komplexe Fourierreihe
    • komplexe Vektorräume, unitäre Matrizen, Ableitung und Integration von Funktionen R->C
  • Immer: (Un)gleichungen lösen, Terme vereinfachen, abschätzen/runden z.B. mit Hilfe von Größenordnung, Konsistenzüberprüfung mit Hilfe von Einheiten

Voraussetzungen

keine

Empfohlene Vorkenntnisse

Gute Kenntnisse der Mathematik aus der Oberstufe. Empfohlen wird außerdem die Teilnahme am 4-wöchigen Vorkurs "Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler", den die Fakultät für Mathematik vor Studienbeginn jeweils im September anbietet.

Literatur

  1. Meyberg, K., Vachenauer, P. "Höhere Mathematik 2", Springer, 2007
  2. Burg, Klemens, Haf, Herbert, Wille, Friedrich "Höhere Mathematik für Ingenieure 3. Gewöhnliche Differentialgleichungen, Distributionen, Integraltransformationen", Teubner Verlag, 2002
  3. Meyberg, K., Vachenauer, P. "Höhere Mathematik I", Springer, 1995

Sonstiges